\subsection{可见光干扰信道分布式协作波束成形设计}
为了克服集中式干扰管理方案的缺陷，本节将在前一节集中式波束成形方案的基础上，研究一种分布式协作波束成形方案。整体思路是首先通过引入一些辅助变量，将问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP}解耦重构为一个分布式优化问题，然后基于交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM)进行求解。

\subsubsection{(1) 变量解耦}
由约束\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP:b}可知，第$ i $个接收机接收到的干扰信号依赖于其他传输对的传输情况，这使得变量$ \bfw_i $与$ \bfw_j,\forall j\in\calK,j\neq i $相互耦合，阻碍分布式干扰管理的设计和应用。为了能够解耦这一组约束，本节引入辅助变量$ \nu_{i,j} $用以表示需要满足的从第$ j $个发射机到第$ i $个接收机的局部干扰信号要求，即
\begin{align}
&{\nu _{i,j}} \ge {\lambda _{i,j}}{\rm{Tr}}\left( {{{\bf{W}}_j}{{\bf{g}}_{i,j}}{\bf{g}}_{i,j}^T} \right),\forall i,j \in \mathcal{K},j \ne i.
\end{align}
此外，令$ \eta_i $表示第$ i $个接收机的总干扰信号要求，即
\begin{align}
&{\eta _i} = \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^K {{\nu _{i,j}}},\forall i \in \mathcal{K}.
\end{align}
因此，约束\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP:b}可以转换为
\begin{subequations}\label{Eqn:IC:MISO:Distributed:ConstrainReconstruction}
    \begin{align}
    &{u_i}{\rm{Tr}}\left( {{{\bf{W}}_i}{{\bf{g}}_{i,i}}{\bf{g}}_{i,i}^T} \right) \ge {\eta _i}  + {c_i},\forall i \in \mathcal{K},\label{Eqn:IC:MISO:Distributed:ConstrainReconstruction:a}\\
    &{\lambda _{i,j}}{\rm{Tr}}\left( {{{\bf{W}}_j}{{\bf{g}}_{i,j}}{\bf{g}}_{i,j}^T} \right) \le {\nu _{i,j}},\forall i,j \in \mathcal{K},j \ne i.\label{Eqn:IC:MISO:Distributed:ConstrainReconstruction:b}
    \end{align}
\end{subequations}
经过以上转换，约束\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP:b}的变量解耦，从而使得分布式求解成为可能。

根据以上分析，可以将问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP}重构为分布式实现形式。定义第$ i $个传输对的局部干扰信号向量$ \bfv_i $以及全局干扰信号向量$ \bfv $
\begin{subequations}
    \begin{align}
    &{{\bf{v}}_i} = {\left[ {{\nu _{1,i}},...,{\nu _{j,i}},...{\nu _{K,i}},{\eta _i}} \right]^T},~j\ne i,\forall i \in \mathcal{K},\\
    &{\bf{v}} = {\left[ {{{\left\{ {{\nu _{1,i}},...,{\nu _{j,i}},...{\nu _{K,i}}} \right\}}_{j \ne i\forall i \in {\cal K}}}} \right]^T}.
    \end{align}
\end{subequations}
局部变量$ \bfv_i $和全局变量$ \bfv $的关系为
\begin{align}
{{\bf{v}}_i} = {{\bf{Z }}_i}{\bf{v}},
\end{align}
式中，矩阵${{\mathbf{Z }}_i} \in {\Re ^{\left( {K + 1} \right) \times K\left( {K - 1} \right)}}$的元素由$0$或$1$组成，并且可以 验证${{\mathbf{Z }}_i}$是一个满秩矩阵。
\subsubsection{(2) 部分增广拉格朗日函数}
经过变量分解后，问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP}可以重构为典型的分布式优化问题形式
\begin{subequations}\label{Eqn:IC:MISO:Distributed:Problem}
    \begin{align}
    \min_{\{\mathbf{v}_i,\mathbf{W}_i,\forall i\}}&\quad \sum_{i = 1}^K {{F_i}\left( {{\mathbf{W}_i}} \right)}
    \\
    \textrm{s.t.}&\quad{\bf{v}}_i - {{\bf{Z}}_i}{\bf{v}} = 0,\forall i \in {\cal K}\label{Eqn:IC:MISO:Distributed:Problem:b}
    \\
    &\quad{u_i}{\rm{Tr}}\left( {{{\bf{W}}_i}{{\bf{g}}_{i,i}}{\bf{g}}_{i,i}^T} \right) \ge {\eta _i} + {c_i},\forall i \in {\cal K},\label{Eqn:IC:MISO:Distributed:Problem:c}
    \\
    &\quad{\lambda _{j,i}}{\rm{Tr}}\left( {{{\bf{W}}_i}{{\bf{g}}_{j,i}}{\bf{g}}_{j,i}^T} \right) \le {\nu _{j,i}},\forall i,j \in {\cal K},\forall j \neq i,
    \\
    &\quad{\rm{Tr}}\left( {{{\bf{W}}_i}{{\bf{e}}_n}{\bf{e}}_n^T} \right) \le \frac{{b_i^2}}{{A_i^2}},\forall i \in {\cal K},\forall n \in {\cal N}_T,
    \\
    &\quad{{\bf{W}}_i}\succeq{\bf{0}},\forall i \in {\cal K}.
    \label{Eqn:IC:MISO:Distributed:Problem:f}
    \end{align}
\end{subequations}
式中，$ {F_i}\left( {{{\mathbf{W}}_i}} \right)\triangleq\varepsilon _i\textrm{Tr}\left(\mathbf{W}_i\right)$。

约束\eqref{Eqn:IC:MISO:Distributed:Problem:b}表示局部变量$\left\{{\bf{v}}_i\right\}$必须和全局变量${\bf{v}}$对应元素保持一致。因此，问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Distributed:Problem}本质上是一个全局一致性问题，而这一类问题可以通过交替方向乘子法解出\cite{Boyd2010}。具体而言，问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Distributed:Problem}是一个可分问题，可以分解为$ K $个独立的子问题；每个子问题只需要处理目标函数和约束条件中属于自己的部分；每次迭代中，局部变量根据交换得到的信息进行更新，直到满足收敛条件，从而解出问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Distributed:Problem}。

根据交替方向乘子法的需要，在此给出\eqref{Eqn:IC:MISO:Distributed:Problem}的部分增广拉格朗日函数
\begin{align}\label{Eqn:IC:MISO:Distributed:Lagrangian}
\calL_{\zeta}\left(\left\{\bfv_i\right\},\left\{\bfW_i\right\},\left\{\tau_i\right\},\bfv\right)=\sum_{i = 1}^{K}\left(F_i\left(\bfW_i\right)+\tau_i^T\left(\bfv_i-\bfZ_i\bfv\right)+\frac{\zeta}{2}\norm{\bfv_i-\bfZ_i\bfv}^2\right),
\end{align}
式中，${{\bf{\tau }}_i},\forall i\in\calK$ 为约束\eqref{Eqn:IC:MISO:Distributed:Problem:b}对应的拉格朗日乘子（对偶变量），$\zeta $表示惩罚因子。显然，部分增广拉格朗日函数\eqref{Eqn:IC:MISO:Distributed:Lagrangian}也具有可分结构。
\subsubsection{(3) 变量更新}
变量$ \left\{\bfv_i\right\},\left\{\bfW_i\right\},\left\{\tau_i\right\},\bfv $可以通过交替方向乘子法逐一进行更新。

在第$ t $次迭代中，对于局部变量$ \bfv_i $和$ \bfW_i $，可以由如下凸优化问题解出，并记作$\left\{\mathbf{v}_i(t+1),\mathbf{W}(t+1),\forall i\in\calK\right\}$。这一问题对应于由部分增广拉格朗日函数\eqref{Eqn:IC:MISO:Distributed:Lagrangian}分解得到的$ K $个子问题。
\begin{align}\label{Eqn:IC:MISO:Distributed:SubProblem}
\minimize{\bfv_i,\bfW_i}{&F_i\left(\bfW_i\right)+\tau_i^T\left(\bfv_i-\bfZ_i\bfv\right)+\frac{\zeta}{2}\norm{\bfv_i-\bfZ_i\bfv}^2}\\
\st&\eqref{Eqn:IC:MISO:Distributed:Problem:c}-\eqref{Eqn:IC:MISO:Distributed:Problem:f}\nonumber
\end{align}

随后，全局变量$ \bfv\left(t+1\right) $可以通过求解如下无约束凸二次规划问题获得
\begin{align}\label{Eqn:IC:MISO:Distributed:Update:v}
\bfv\left(t+1\right) =\arg\minimize{\bfv}{\sum_{i=1}^{K}\frac{\zeta}{2}\norm{\bfv_i\left(t+1\right)-\bfZ_i\bfv}^2-\sum_{i = 1}^{K}\tau_i^T\left(t\right)\bfZ_i\bfv\left(t\right)}.
\end{align}
问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Distributed:Update:v}对应的闭式解为
\begin{align}
\bfv\left(t+1\right) =\left(\sum_{i=1}^{K}\zeta\bfZ_i^T\bfZ_i\right)^{-1}\sum_{i=1}^{K}\bfZ_i^T\left(\zeta\bfv_i\left(t+1\right)+\tau_i\left(t\right)\right).
\end{align}

最后，对偶变量$ \left\{\tau_i\left(t+1\right)\right\} $根据下式进行更新
\begin{align}
\tau_i\left(t+1\right)=\tau_i\left(t\right)+\zeta\left(\bfv_i\left(t+1\right)-\bfZ_i\bfv\left(t+1\right),\forall i\in\calK\right).
\end{align}

\begin{algorithm}[htbp]
    \caption{可见光干扰信道分布式协作波束成形}
    \label{Alg:IC:MISO:Distributed}
    \begin{algorithmic}[1]
        \REQUIRE 令迭代次数$ t=0 $，并初始化变量$ \bfv\left(0\right) $，$ \tau\left(0\right) $以及$ \zeta>0 $；$ \xi>0 $为给定的精度要求；
        \STATE 通过求解每个子问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Distributed:SubProblem}，更新局部变量$\left\{ \mathbf{v}_i(t + 1),\mathbf{W}_i(t+1),\forall i \right\}$；
        \STATE 发射机之间交换变量$\left\{ {{{\bf{v}}_i}\left( {t + 1} \right)} \right\}$的信息；
        \STATE 更新全局变量${{\bf{v}}}\left( {t + 1} \right)$；
        \STATE 更新对偶变量${{\bf{\tau }}_i}\left( {t + 1}\right),\forall i $；
        \STATE  若$\abs{\bfv_i\left(t\right)-\bfZ_i\bfv\left(t\right)}\leq \xi,\forall i\in\calK $，则迭代停止;否则，令$t=t+1$，转到步骤1
        \ENSURE 对$ \left\{\bfW_i^\star\right\} $进行rank-1分解，输出最优波束成形向量$ \left\{\bfw_i^\star\right\} $。
    \end{algorithmic}
\end{algorithm}

基于上述推导和分析，本文构建了一种可见光干扰信道分布式协作波束成形方案，如算法\ref{Alg:IC:MISO:Distributed}所示。在这种方案中，相应算法在每一个发射机中独立执行。在每次迭代过程中，第$ i $个发射机根据自身以及同其他发射机交换得到局部干扰信号向量$ \bfv_i $更新全局干扰信号向量$ \bfv $和局部对偶变量$ \tau_i $，随后根据更新后的$ \bfv $和$ \tau_i $，求解问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Distributed:SubProblem}获得局部波束成形矩阵$ \bfW_i $。每个发射机反复执行以上步骤，直至满足预先设定的精度要求$ \xi $，最后通过对最优波束成形矩阵$ \left\{\bfW_i^\star\right\} $进行rank-1分解得到最优波束成形向量$ \left\{\bfw_i^\star\right\} $。

相比于前一节提出的集中式干扰管理方案，本节提出的分布式协作干扰管理方案每个发射机独立计算波束成形向量，发射机之间只交换局部信息$ \bfv_i $，可以有效减轻计算负载和网络开销，并能够收敛于集中式干扰管理方案的最优解。

